...car ils recherchent la beauté
Les mathématiques sont-elles au c?ur d'une discipline esthétique - ou que signifie le fait que quelqu'un trouve une preuve "belle" ? Et que révèle la beauté mathématique sur les relations physiques ?
Jusqu'à aujourd'hui, les mathématiques connaissent de beaux faits qui sont également connus dans la vie quotidienne - par exemple le nombre d'or, qui a la réputation depuis l'Antiquité de représenter la proportion idéale. Certains mathématiciens affirment que sans sens esthétique, il est difficile de faire des découvertes mathématiques. "La beauté touche certainement l'?me des mathématiciens", déclare Ana Cannas da Silva, professeure de mathématiques à l'ETH et chercheuse dans le domaine de la géométrie. Pour elle, la curiosité mathématique et la curiosité esthétique vont de pair : au Portugal, par exemple, les trottoirs sont souvent pavés de motifs symétriques complexes qui illustrent des phénomènes mathématiques. Elle a rédigé à ce sujet le livre illustré "Symmetry step by step".
Lorsqu'on lui demande ce que signifie la beauté en mathématiques, Ana Cannas da Silva répond qu'il ne s'agit pas seulement de visuel, mais aussi de langage. Elle partage l'avis du précurseur de la physique moderne, Galileo Galilei (1564 - 1642), selon lequel l'univers est écrit dans le langage des mathématiques.
Une expérience intense
Il n'existe pas de règle contraignante sur ce qui fait la beauté des mathématiques : "Pour moi, l'abstraction des mathématiques est la source de leur beauté", dit Emmanuel Kowalski, qui fait des recherches sur la théorie analytique des nombres, un domaine des mathématiques pures. Il concède : "Les mathématiciens ne per?oivent pas tous les mêmes choses comme belles de la même manière, mais la grande majorité d'entre eux font l'expérience intense que les mathématiques sont belles", et Cannas da Silva de renchérir : "La perception de la simplicité, de la clarté, de l'élégance et de la symétrie est souvent associée à la beauté mathématique."Même s'il n'existe pas de consensus sur la signification de la beauté, les mathématiciens d'une même communauté s'accordent généralement sur les théorèmes, les preuves, les formules ou les constructions les plus beaux dans leur domaine.
"Une belle preuve est généralement concise et contient de nouvelles idées surprenantes".Benny Sudakov
La voie royale des mathématiques vers la vérité est la preuve. Les preuves sont considérées comme belles ou plut?t "élégantes" lorsqu'elles déduisent leurs énoncés le plus directement possible d'énoncés prouvés et vrais, qu'elles utilisent avec parcimonie des hypothèses supplémentaires, qu'elles résolvent de nombreux problèmes et permettent d'obtenir de nouveaux résultats. "Une belle preuve est généralement concise et contient de nouvelles idées surprenantes. Il y a certes des résultats impressionnants avec des preuves longues et techniques, mais en les comprenant mieux, nous trouvons souvent des preuves plus courtes et plus élégantes", explique Benny Sudakov, mathématicien spécialisé dans la combinatoire.
Ce qui est plus contestable, c'est ce qui rend une théorie ou des équations belles. Actuellement, il n'existe pas de règle mathématique généralement acceptée, ni de critère ou d'automatisme à ce sujet. En revanche, les mathématiciens parlent souvent de beauté lorsqu'un résultat ou une preuve établit un nouveau lien entre deux domaines ou deux énoncés mathématiques qui, à première vue, n'ont rien à voir entre eux. De tels liens sont considérés comme des relations profondes. Kowalski dit : "J'éprouve les sensations esthétiques les plus fortes lorsque des approches totalement indépendantes les unes des autres se rencontrent de manière profonde". C'est dans ces moments-là qu'il constate à quel point les différentes parties des mathématiques sont liées entre elles.
De belles équations
En raison de ses qualités fédératrices, beaucoup considèrent l'identité d'Euler comme l'un des plus beaux et des plus profonds théorèmes mathématiques. Elle porte le nom de Leonhard Euler (1707 - 1783). La profonde beauté de l'équation eiπ+1= 0 provient du fait que trois opérations arithmétiques de base apparaissent exactement une fois (l'addition, la multiplication et la puissance) et qu'elle établit un lien simple entre cinq des nombres mathématiques les plus importants : le nombre eulérien e, le nombre imaginaire i, le nombre circulaire Pi, le nombre 1 et le zéro.
"En mathématiques, la beauté peut être un indice de ce qui est probablement vrai".Ana Cannas Da Silva
"En mathématiques, la beauté peut être un indice de ce qui est probablement vrai", explique Ana Cannas da Silva. Pour Emmanuel Kowalski, la beauté est comme un principe directeur qui peut conduire à la vérité. "Une belle phrase renforce la confiance pour s'engager dans une voie de solution déterminée. Mais on peut se tromper, surtout si l'on ne comprend pas encore suffisamment les faits". Benny Sudakov fait remarquer que "même les théorèmes dont les preuves ne sont pas attrayantes sont acceptés".
La question de la beauté des théories et formules élégantes est également discutée dans les branches des sciences naturelles marquées par les mathématiques - par exemple en physique théorique. Là, la voie royale vers la vérité passe par l'expérience. La théorie de la relativité générale d'Albert Einstein (1879 - 1955) est considérée comme belle parce que ses affirmations mathématiques peuvent toujours être mesurées et prouvées empiriquement. Or, il existe en physique des grandeurs qui peuvent être postulées mathématiquement, mais qui n'ont pas encore été mesurées - même pas avec de grandes installations de recherche comme les accélérateurs de particules ou les télescopes spatiaux. La physicienne Sabine Hossenfelder a donc critiqué la conviction selon laquelle les meilleures théories physiques sont belles et que les belles théories doivent être vraies.
Eugène Demler, professeur de physique théorique à l'ETH depuis 2021, voit les choses de la même manière : "Mon expérience en physique est que si quelqu'un découvre quelque chose sur la nature qui est vrai, on peut le décrire de manière élégante et belle. Notre plus grande ambition est de trouver une équation fondamentale en quelques lettres. C'est vraiment beau".
Comme exemple d'une belle équation fondamentale, il cite la loi naturelle E=mc? découverte par Albert Einstein. Elle stipule que si l'énergie change, la masse change également et vice versa. La validité de cette équation a été confirmée par de nombreuses expériences. Il ne tire pas la conclusion que les belles déclarations mathématiques sont vraies : "Les physiciens théoriques sont souvent divisés entre ceux qui cherchent la vérité et ceux qui cherchent la beauté. Les grands atteignent les deux".
"Globe" beauté et science
Ce texte est paru dans le numéro 22/02 du magazine de l'ETH. Globe a été publié.