Das Geheimnis einer guten Lösung

Wenn ein Mathematiker wie Mishra ein Ph?nomen der Natur ergr¨¹ndet oder eine technische Fragestellung in Angriff nimmt, dann betrachtet er sie zun?chst einmal als ein System. All diese Systeme, ihr Verhalten, ihre Entwicklung und ihre Ver?nderungen lassen sich mathematisch in der Form bestimmter Gleichungen beschreiben. Die Gleichungen, die sich besonders eignen f¨¹r Vorg?nge, die an Bewegung und Ver?nderung gekoppelt sind, heissen seit ihrer Erfindung durch Isaac Newton (1642-1726) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Differentialgleichungen. Sie sind zentral f¨¹r Siddhartha Mishras Forschung.

Br¨¹cken schlagen f¨¹r chaotische Str?mungen

Zwei seiner aussergew?hnlichsten Durchbr¨¹che hat Mishra bei den sogenannten Euler-Gleichungen erzielt: diese Gleichungen sind nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) benannt. Er entwarf eine wichtige Klasse partieller Differentialgleichungen, die Str?mungen beschreibt, wie sie zum Beispiel um einen Tragfl¨¹gel herum entstehen. Mishra l?ste eine Frage der Euler-Gleichungen, die 30 Jahre lang offen war, indem er einen neuen Algorithmus f¨¹r ein N?herungsverfahren vorschlug. Ausserdem entwickelte er einen L?sungsansatz f¨¹r bestimmte Euler-Gleichungen, mit dem sich die Dynamik instabiler, chaotischer und turbulenter Str?mungen genauer bestimmen l?sst.

F¨¹r seine Forschung auf dem Gebiet der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen hat Siddhartha Mishra den R?ssler-Preis 2023 erhalten. Ausserdem w¨¹rdigt der h?chstdotierte Forschungspreis der ETH Z¨¹rich, dass Mishra eine Br¨¹cke schl?gt zwischen den mathematischen Grundlagen und ihrer Anwendung in Forschung und Industrie. So hat er beispielsweise robuste, effiziente Algorithmen entworfen, mit denen sich nichtlineare partielle Differentialgleichungen schneller und genauer auf Supercomputern simulieren lassen. Diese Simulationen er?ffnen neue Wege zur L?sung realer Probleme in Forschungsgebieten wie der Astrophysik, Sonnenphysik, Geophysik, Klimadynamik und der Biologie.

Abstrakte Gleichungen f¨¹r reale Probleme

Reale Probleme sind das A und O von Siddhartha Mishras Forschung: ?Die Ph?nomene, mit denen ich mich besch?ftige, haben eine reale Auswirkung auf die Welt?, sagt Mishra, ?und die Auswirkungen von Ver?nderungen zu verstehen, ist der Schl¨¹ssel, um physikalische und technische Prozesse in der realen Welt zu begreifen.? F¨¹r seine Forschung typische Fragen sind zum Beispiel: ?Wie sehr verringert sich der Luftwiderstand, wenn an einem Flugzeug die Form des Fl¨¹gels in einer bestimmten Weise ver?ndert wird? Und wieviel Kohlenstoffemissionen lassen sich durch eine aerodynamischere Form einsparen?? Kennzeichnend f¨¹r Mishra ist seine Anwendungsorientierung. Regelm?ssig arbeitet er mit Ingenieurforschenden und der Industrie zusammen. Zum Beispiel hat er mit Forschenden der Empa schnelle Algorithmen entwickelt, um ein additives, industrielles Fertigungsverfahren f¨¹r den 3D-Druck zu simulieren. Dabei wird mit Mishras Algorithmen ein Laserstrahl in Echtzeit so positioniert, dass er die gew¨¹nschte Form aus einen Metallblock fr?st.

?Das Erstaunliche an der Mathematik ist, wie ihre abstrakten Gleichungen immer wieder neue L?sungen und hochrelevante Anwendungen f¨¹r Wirtschaft und Gesellschaft erm?glichen?, sagt Max R?ssler, der Stifter des R?ssler-Preises, der selbst Mathematik an der ETH Z¨¹rich studierte, ¨¹ber Bahnberechnungen in der Raumfahrt promovierte und am Institut f¨¹r Operations Research unterrichtete. ?Die Forschung von Siddhartha Mishra belegt die unglaubliche Anwendbarkeit der Mathematik eindr¨¹cklich, indem seine Gleichungen zum Beispiel Vorhersagen zu Wetter, Erdbeben oder Tsunamis unterst¨¹tzen oder auch produktive Anwendungen erm?glichen wie das 3D-Drucken mit Metallen in der industriellen Fertigung.?

Ann?herungen an komplexe Verh?ltnisse

In der Regel beziehen sich die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die Mishra untersucht, auf reale Ph?nomene, die ¨C wie Wolken, Tornados oder Sonnenst¨¹rme ¨C sehr komplex und vielschichtig sind und viele Abh?ngigkeiten, Wechselwirkungen und Ungewissheiten enthalten. Diese Probleme sind oft so komplex, dass sie sich mit einfachen Gleichungen nicht vollst?ndig beschreiben lassen. Eine L?sung erf¨¹llt dann eine Gleichung, wenn sie beim Einsetzen konkreter Werte eine wahre, mit den gemessenen Tatsachen ¨¹bereinstimmende Aussage erzeugt.

Bei hochkomplexen, multidimensionalen Naturereignissen arbeitet ein Mathematiker wie Mishra mit Ann?herungen an die L?sungen der Gleichungen. Die Probleme aus der realen Welt lassen sich oft gar nicht ohne N?herungsverfahren l?sen. ?Die Natur selbst und die Gleichungen, mit denen wir die Natur modellieren, sind sehr oft zu komplex, um letztlich etwas anderes als Ann?herungen zu erlauben?, sagt Mishra, ?in gewisser Weise ist alle Mathematik eine Ann?herung, wie die antiken Griechen und die indischen Mathematiker im ersten Jahrhundert schon sagten.?

Heute stehen Mathematiker:innen wie Mishra leistungsstarke Computer zur Seite. ?Supercomputer k?nnen die Differentialgleichungen f¨¹r komplexe Systeme n?herungsweise l?sen?, sagt Mishra. Den R?ssler-Preis erh?lt Mishra auch daf¨¹r, dass er die ?schw?cheren? N?herungsl?sungen sehr sorgf?ltig formuliert und sie in Algorithmen ¨¹bertr?gt. Die Qualit?t seiner Algorithmen besteht darin, dass sie die Struktur einer mathematischen Gleichung besonders gut bewahren und auf diese Weise die Genauigkeit der Simulationen erh?hen. Numerische N?herungsverfahren haben jedoch f¨¹r Mishra nicht nur einen praktischen Nutzen, sondern sie spielen auch eine fundamentale Rolle, um die G¨¹ltigkeit, den Anwendungsbereich und die Wirkung einer Gleichung zu beweisen.

Maschinelles Lernen f¨¹r Tempo und Genauigkeit

In j¨¹ngster Zeit hat Siddhartha Mishra, der Mitglied des ETH AI Centers ist, begonnen, sehr leistungsf?hige Algorithmen des maschinellen Lernens zu entwerfen. Zun?chst ging es ihm darum, die Rechenzeit der Simulationen zu verk¨¹rzen. Nun kommen vermehrt Fragen auf, wie maschinelles Lernen die Genauigkeit einer Simulation erh?hen und bisher unl?sbare Probleme l?sen k?nnte.

F¨¹r die Beschleunigung der Rechenzeit mithilfe maschinellen Lernens kann Mishra schon einige Beispiele vorweisen:

• Im Falle des 3D-Druckverfahrens f¨¹r Metalle reduzierte sein Ansatz die Rechenzeit der Simulation von rund vier Stunden auf eine Zehntelsekunde (0,1 s).
• Bei einem Tsunami-Fr¨¹hwarnsystem betr?gt die Rechenzeit mit Mishras Lernansatz rund eine Hundertstelsekunde (10^-2s). Zuvor dauerte es rund eine Stunde, um vom Erdbebenereignis an vorherzusagen, wie sich ein Tsunami entwickelt und ausbreitet.

?Die Simulationen mit maschinellem Lernen sollen nicht nur zehnmal schneller sein, sondern zehntausend bis hunderttausendmal?, sagt Mishra. Ein Beispiel, wie Lernalgorithmen die Genauigkeit einer Simulation erh?hen, kommt aus der geophysikalischen Forschung. Zusammen mit Yunan Yang, die zuletzt am Institut f¨¹r Theoretische Studien forschte, und anderen Mitarbeitenden schlug er einen neuen Algorithmus f¨¹r maschinelles Lernen vor, um geophysikalische Eigenschaften unter der Oberfl?che durch seismische Bildgebung zu ermitteln, d. h. durch Aussenden seismischer Wellen in den Boden und Aufzeichnen ihrer R¨¹ckstrahlung in den Messstationen an der Oberfl?che. Mishras und Yangs Algorithmen sind vier bis f¨¹nfmal schneller als bisherige Algorithmen, und sie sind auch zwei bis viermal genauer.

Auch f¨¹r seine maschinellen Lernalgorithmen dient Mishra die Physik als Inspiration: zum einen verwendet er maschinelles Lernen f¨¹r Fragen der Physik. Zum anderen nutzt er physikalische Prinzipien und Begriffe, um leistungsf?higere, robustere und zuverl?ssigere maschinelle Lernsysteme zu entwickeln ¨C zum Beispiel, um die Bildgebung in der Neurologie zu sch?rfen.